सम्मिश्र संख्या क्या है : सम्मिश्र संख्या का गुण

सम्मिश्र संख्या क्या है:  इसकी उत्पत्ति ग्रीक देश से हुई है । इसके उपयोग से गणित का कैलकुलेशन काफी आगे  तक बढ़ता जाता है । अभी भी सम्मिश्र संख्या पर खोज चल रहा है । यह एक  बहुत ही जटिल गणित का रूप धारण कर लिया है । एंव दिन प्रतिदिन यह गणित बढ़ता ही जा रहा है । यह संख्या वास्तविक संख्या तथा काल्पनिक संख्या का सम्मिलित रूप है । क्योंकि जब काम्प्लेक्स नंबर को क्लास्सिफ़िकेशन्स करेंगे तो यह दो भागो में बट जाता है । एक होता है, वास्तविक संख्या तथा दूसरा काल्पनिक संख्या । सम्मिश्र संख्या को अंग्रेजी में complex number कहाँ  जाता है ।

समिश्र संख्या क्या है 

वैसा संख्या जो  a+ib के रूप में रहता है । इस प्रकार की संख्या को सम्मिश्रित संख्या कहा जाता है । अर्थात जिस संख्या में वास्तविक संख्या एंव काल्पनिक संख्या दोनों का मिश्रण हो इस प्रकार के संख्या को भी काम्प्लेक्स नंबर कहाँ जाता है । जहाँ a  वास्तविक संख्या है । एंव ib  काल्पनिक संख्या है ।इसे मैं निचे उदाहरण के द्वारा बताने की कोशिस करता हूँ ।

उदाहरण :

(1) 2+3i, इसमें 2 वास्तविक संख्या है । एंव 3i एक काल्पनिक संख्या है ।

(2) -4+ 5j , इसमें -4 एक वास्तविक संख्या है । 5j एक काल्पनिक संख्या है ।

वास्तविक संख्या क्या है :

वैसा संख्या जो किसी संख्या प्रणाली का भाग हो । जैसे की धनात्मक संख्या,  ऋणात्मक संख्या,, शून्य, परिमेय तथा अपरिमेय इत्यादि । इस प्रकार की संख्या  वास्तविक संख्या कहलाती है ।

सभी प्रकार की संख्या, वास्तविक संख्या कहाँ जा सकता है । परन्तु  वास्तविक संख्या सभी प्रकार की संख्या नहीं हो सकती है ।

जैसे :- -5, 1/2, 3.9,8 इत्यादि वास्तविक संख्या है ।

काल्पनिक संख्या क्या है :

जो संख्या वास्तविक  संख्या नहीं होती है । वह काल्पनिक संख्या कहलाती है । यदि काल्पनिक संख्या का वर्ग करते है । वर्ग करने के बाद ऋणात्मक परिणाम देता है । उसे काल्पनिक संख्या के अंतर्गत रखा जाता है । और इसे im() के द्वारा सूचित किया जाता है । यदि कोई   काल्पनिक संख्या है । उसे i के द्वारा सूचित किया जाता है । जिसे आयोटा कहाँ जाता है ।

इसका कुछ उदाहरण:  √-7, √-13  इसका उदाहरण है ।

(i) √-1 को ग्रीक अक्षर i जिसे आयोटा कहाँ जाता है,  जिसके द्वारा  व्यक्त किया जाता है ।

(ii) √-2 = √2i

(iii) √-4 = 2i

काल्पनिक संख्या i का  घात :

(a) i⁰ = 1

(b)  i¹ = i

(c) i² = -1

(d) i³ = -i

(e) i⁴ = i

वास्तविक एंव काल्पनिक संख्या में अंतर :

complex number	real  number	imaginary  number
3+8i	3	8
-2+7i	-2	7
x+iy	x	y
9+7i	9	7
3-5i	3	-5
-8-3i	-8	-3

सम्मिश्र संख्या का संयुग्मी: मापांक एवं कोणांक

संयुग्मी: सम्मिश्र संख्या (Z) = x+iy हो, तो Z के संयुग्मी को Z_ से सूचित किया जाता है ।

मापांक: सम्मिश्र संख्या (Z) = x+iy हो, तो Z के मापांक को |Z| द्वारा सूचित किया जाता है ।

जहाँ,  |z| = √(x²+y²)

कोणांक: सम्मिश्र संख्या (Z)= x+iy हो, तो Z के कोणांक को arg (Z) या amp (Z) लिखा जाता है ।

जहाँ, arg Z = tan^-1 (y/x)

सम्मिश्र संख्या फार्मूला :

1.	(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
2.	(a + ib) – (c + id) = (a-c) + i(b-d)
3.	(a + ib) x (c + id) = (ac – bd) + i(ad + bc)
4.	(a + ib) / (c + id) = (ac +bd)/ (c2 + d2) +i (bc – ad) / (c2 + d2)
5.	i-1 = 1 / i × i/i  = i / i2 = i / -1  = -i
6.	(z1 + z2)2 = (z1)2 + (z2)2 + 2 × z1 × z2
7.	(z1 – z2)2 = (z1)2 + (z2)2 – 2 × z1 × z2
8.	(z1)2 – (z2)2 = (z1 + z2) (z1 – z2)
9.	(z1 + z2)3 = (z1)3 + 3 × (z1)2 × z2 +3 × (z2)2 × z1 + (z2)3
10.	(z1 – z2)3 = (z1)3 – 3 × (z1)2 × z2 +3 × (z2)2 × z1 – (z2)3

सम्मिश्र संख्या क्या है:सम्मिश्र संख्या का संयुग्मन 

अगर सम्मिश्र संख्या (Z)=(a+ib) तो  सम्मिश्र संख्या का संयुग्मन(Z)= a-ib .

इसे कुछ उदाहरण के द्वारा बताने की कोशिस कर रहे है । यदि Z= 2+3i तो सम्मिश्र संख्या का संयुग्मन (Z)=2-3i

सम्मिश्र संख्या की समानता :

अगर z1=a1+ib1 और z2= a2+ib2 तो z1=z2, a1=a2 और b1= b2

इसे उदाहरण के द्वारा बताने की कोशिस करता हूँ । अगर 2y+(3x-y)i=(5-2i), तो x और y=?

रियल तथा इमेजिनरी भाग को बराबर करने पर, 2y+(3x-y)i=(5-2i)

2y=5 और 3x-y=-2

y=5/2 और 3x-5/2=-2

y=5/2, x=1/6

सम्मिश्र संख्या का जोड़ :

अगर z1= a+ib, z2=c+id तो z1+z2= a+ib+c+id=(a+c)+i(b+d)

इसे उदाहरण के द्वारा बताने की कोशिस कर रहे है ।

z1=2+3i, z2= 4+5i तो (z1+z2)= (2+4)+i(3+5)=6+8i

सम्मिश्र संख्या का घटाव :

अगर z1= a+ib, z2= c+id तो z1-z2= (a+ib)-(c+id)=a+ib-c-id=(a-c)+i(b-d).

इसे उदाहरण के द्वारा बताने की कोशिस करते है,  z1= 2-3i, z2= 4-3i तो z1-z2= (2-3i)-(4-3i)=(2-3i-4+3i)=-2+0.i

सम्मिश्र संख्या के जोड़ का गुण:

(i) closure property: अगर z1 तथा z2 दो कॉम्प्लेक्स नंबर्स है । तो z1+z2 भी कॉम्प्लेक्स नंबर्स ही होगा ।                                        (ii) commutative law: अगर दो कॉम्प्लेक्स नंबर्स z1 तथा z2 है । तो

z1+z2= z2+z1

(iii) Associative law: तीन कॉम्प्लेक्स नंबर्स z1, z2 तथा z3 तो (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3)

(iv) Existence of additive identity:  यदि कॉम्प्लेक्स नंबर Z तो

Z+0=0+Z=Z

(v) Existence of additive inverse: यदि Z= a+ib तो -Z=(-a)+i(-b)

Z+(-Z)=(-Z)+Z=0

सम्मिश्र संख्या क्या है: सम्मिश्र संख्या के गुना का गुण  

(i) closure property:  यदि दो सम्मिश्र संख्या  को गुणा करने पर एक कॉम्प्लेक्स नंबर प्राप्त होगा ।

यदि z1 तथा z2 सम्मिश्र संख्या को गुणा करने के बाद, z1.z2 सम्मिश्र संख्या गुणा प्राप्त करता है ।

(ii) commutative law :  यदि दो सम्मिश्र संख्या z1 तथा z2 है ।

z1.z2=z2.z1

(iii) associative law :  यदि तीन कॉम्प्लेक्स z1, z2 तथा z3 है । तो

(z1.z2)z3=z1(z2.z3)

(iv) Existence of multiplicative identity: यदि  कॉम्प्लेक्स नंबर Z तो

Z.1=1.Z=Z

(v) Distributive laws: यदि कॉम्प्लेक्स नंबर्स z1, z2 तथा z3 है । तो

z1.(z2+z2)=z1.z2+z1.z3

(z1+z2).z3=z1.z3+z2.z3

निष्कर्ष : दोस्तों  इस ब्लॉग पोस्ट में सम्मिश्र संख्या, सम्मिश्र संख्या क्या है, वास्तविक संख्या,  काल्पनिक संख्या,सम्मिश्र संख्या का संयुग्मी, मापांक एवं कोणांक, सम्मिश्र संख्या फार्मूला, वास्तविक एंव काल्पनिक संख्या में अंतर, काल्पनिक संख्या i का  घात इत्यादि के बारे में ज्यादा से ज्यादा जानकारी देने की प्रयास किया हूँ । यदि इस पोस्ट को पढ़ने के बाद किसी भी प्रकार की क्वेश्चन आती है । तो बेहिचक हमसे कमेंट के माध्यम से पूछने की कोशिस करे । उसका रिप्लाई हम जल्द से जल्द देने की कोशिस करेंगे ।

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